AI 기초 수학 정리 공책_06 전확률 정리 / 베이즈 정리

1. 들어가며

 

이번 글로 확률부분은 마무리하겠습니다. 고교 수학에서 배우는 것보다 더 깊은 지식이 필요하신 분께서는 다른 책을 참조해 보시길 권해드립니다. 전확률 정리나 베이즈 정리에 대한 설명은 고등학교에서 배우는 정도 수준으로 설명하기에 아주 깊이 있는 것은 아니니 너무 큰 기대는 갖지 않으시길 부탁드립니다.

 

먼저 선행으로 이전에 적었던 글 중에서 두 개는 선행, 나머지 하나는 독립시행의 확률에 필요하므로 언급하겠습니다.

 

1) 조건부 확률

            $P(A|B) = \cfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

            $\Longrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)$

 

2) 분할

"사건 $S$ 가 사건 $A, \ B, \ C$ 로 분할된다"는 다음 두 조건을 만족해야 합니다.

• 사건 $A, \ B, \ C$ 는 각각 배반사건입니다. (집합에서 서로 소)
• 세 사건의 합사건은 $S$ 와 같아야 합니다 : $A \cup B \cup C = S$

 

3) $n$ 개에서 $r$ 개를 뽑는 조합 : $_n C_r$ 

 

 

2. 전확률 정리 : Total Probability

 

전확률 정리 공식을 유도하고 수능 기출 문제 하나를 풀어보겠습니다. 그리고 절대 외우지 말고 이해하고 순서대로 풀어나가시길 부탁드립니다. 수학은 외우는 학문이 아니라 이론을 학습하고 반복해서 익혀가는 학문이라고 생각합니다.

 

 

 

수능기출) 어느 청량음료 회사가 한 해 판매목표액을 달성할 확률은 그해 여름 평균기온이 예년보다 높을 경우에 0.8, 예년과 비슷할 경우에 0.6, 예년보다 낮을 경우에 0.3이다. 일기예보에 따르면 내년 여름의 평균기온이 예년보다 높을 확률이 0.4, 예년과 비슷할 확률이 0.5, 예년보다 낮을 확률이 0.1이라 한다. 이 회사가 내년에 판매목표액을 달성할 확률을 구하여라.

 

 

 

3. 베이즈 정리 : Bayes’ theorem

 

베이즈 정리는 전확률 정리와 연관이 됩니다. 전확률 정리를 유도한 식에서 $B$ 라는 조건 하에서 $A_1$ 이 나타날 확률이 베이즈 정리라 생각하면 됩니다. 아래 수식입니다.

 

 

 

수능기출) 어떤 의사가 암에 걸린 사람을 암에 걸렸다고 진단할 확률은 98%이고, 암에 걸리지 않은 사람을 암에 걸리지 않았다고 진단할 확률은 92%라 한다. 이 의사가 실제로 암에 걸린 사람 400명과 실제로 암에 걸리지 않은 사람 600명을 진찰하여 암에 걸렸는지 아닌지를 진단하였다. 이 때 암에 걸렸다고 진단 받은 사람이 실제로 암에 걸린 사람일 확률을 구하여라.

원래 수능에는 “이때 암에 걸렸다고 진단 받을 확률을 구하여라.”가 문제였고 수학 정석에서 이 문제를 조금 바꿨습니다.

 

 

 

4. 독립시행의 확률

 

각각의 시행이 서로 영향을 미치지 않는 독립시행으로 확률을 계산하는 것입니다. 이것도 예를 들어서 설명하고 공식을 적도록 하겠습니다.

 

 

 

일반적으로 시행에서 우리가 원하는 결과가 나타날 확률을 $p$, 나타나지 않을 확률을 $q=1-p$ 라고 한다면 $n$ 번 시행 중 우리가 원하는 결과가 $r$ 번 나타날 확률은

 

                            $_n C_r \ p^r q^{n-r}$

 

입니다. 이를 이용한 최단경로로 도착할 확률을 구해보겠습니다.

 

 

예제) 다음 그림에서 점 $A$ 에서 점 $B$ 까지 최단 경로로 움직일 때, 점 $B$ 에 도착할 확률을 구하여라. 그리고 점 $P$ 를 거쳐서 점 $B$ 에 도착할 확률도 구하여라. 단, 가로 방향과 세로 방향으로 이동할 확률이 각각 $\cfrac{2}{3}$, $\cfrac{1}{3}$ 이다.

 

 

 

선택해야할 사항이 세 경우라면 어떻게 하면 될까요? 이항정리에서 말씀드렸듯이 풀면 됩니다.

 

예제) 공간좌표에서 원점 $O(0, \ 0, \ 0)$에서 점 $P(4, \ 2, \ 3)$으로 축과 같은 방향으로만 최단 경로로 이동할 때, $x$ 축 $y$ 축 $z$ 축 방향으로 1만큼 이동할 확률이 각각 $\cfrac{1}{2}$, $\cfrac{1}{3}$, $\cfrac{1}{6}$ 이라 한다. 점 $P$ 에 도착할 확률을 구하여라.

 

 

다음 두 문제는 독립시행의 확률과 관련된 함정이 있는 문제입니다. 가볍진 않지만 재미삼아 풀어보시길 권합니다.

 

예제) 두 팀 $A, \ B$ 가 한국시리즈에서 7전 4선승제 경기를 할 때 6차전까지 경기를 하여 $A$ 가 4승 2패로 우승할 확률은? 단 $A$ 가 $B$ 를 이길 확률이 $\cfrac{1}{3}$ 이고 무승부는 없다.

 

 

예제) 검사원이 양품을 양품으로 판정할 확률이 0.9이고 불량품을 불량픔으로 판정할 확률은 0.8이다. 이 검사원에게 실제 양품 3개, 불량품 1개를 검사시켰을 때, 양품 2개, 불량품 2개로 판정할 확률을 구하여라.

 

 

5. 마치며

 

이것으로 확률에 대한 정리를 끝맺겠습니다. 고등학교에서 배우는 확률 부분은 이보다 많지만 있지만 Machine Learning, Deep Learning에 필요한 것은 이 정도면 될 것 같습니다. 모두들 열심히 학습하시고 좋은 결과 있으시길 기원합니다.

다음 통계부분은 다음 주말(2021년 1월 16일)부터 다시 올리겠습니다.