수학 학습에 대한 생각

그동안 수학 학습에 대해 생각해본 것을 적어봅니다. 이 글은 저의 주관적인 생각이기에 저와 의견이 다른 분들도 있을 것이라 여겨집니다. 혹시 의견이 다르시더라도 이런 생각을 가지고 있는 이도 있구나 하고 생각해주시길 부탁드립니다.

 

작년, 2020년 머신러닝과 딥러닝 공부를 시작했습니다. 그때 손실함수니 비용함수니 하면서 계산하는 식을 보면서 행렬의 곱셈과 벡터의 내적, 이차함수의 미분이 사용되었습니다. 결과를 알고나서 수학 이론을 살펴보니 왜 저리 쉬운 것을 생각해내지 못한 걸까? 왜 우리가 먼저 저런 것을 발견하지 못했을까? 우리는 저런 것을 생각할 수 있는 능력이 없는 걸까 하는 여러 생각을 했습니다.

 

그러다가 우리의 수학 학습법을 곰곰히 생각하게 되었습니다. 그리고 나름대로 이유를 찾았습니다. 틀렸을 수도 있지만 한 번 짚어 보겠습니다. 그 전에 먼저 인공지능 학습법에 대해 간단한 설명을 하고 말씀드리겠습니다.

 

인공지능은 회귀(regression)와 분류(classification)로 나누고. 학습법은 크게 세 가지로 나눕니다. 지도학습(supervised learning), 비지도학습(unsupervised learning), 그리고 강화학습(reinforcement learning) 입니다. 분류를 예를 들겠습니다.

 

지도학습 : 개와 고양이 사진을 수 백장을 가지고 사진에 나온 동물이 개인지 고양이인지를 구분하고자 합니다. 주어진 사진에는 레이블(label, target이라고도 합니다)이 붙여져 있습니다. 이 사진은 개다, 고양이이다가 구분된 사진으로 학습을 시킵니다. 그리고 새로운 사진 한 장을 학습된 모델에 대입해서 개인지 고양이인지를 구분하게 하는 학습법입니다.

 

비지도학습 : 이것은 지도학습과는 달리 사진을 수 백장을 주고 학습을 시키면 그 사진의 특징을 찾아내어 두 개로 분류를 합니다. A 그룹과 B 그룹으로 나눕니다. 새로운 사진 한 장을 이 구분하는 모델을 통해 결과를 보면 A, B가 무엇인지는 모르지만 입력된 사진은 A 그룹에 속한다는 결과를 알려줍니다. 이렇게 레이블이 없는 데이터로 학습을 하는 것을 비지도학습이라 합니다.

 

강화학습 : 이것은 결과에 대한 보상을 함으로 학습을 좀더 잘하도록 독려하는 형태라고 생각하면 됩니다. 예를 들면 성적이 좋으면 용돈을 올려준다가 강화학습의 좋은 예입니다.

 

 

 

저희가 고등학교 때까지 수학 공부를 정말 열심히 합니다. 특히 수능 30번을 풀기 위한 노력은 어마어마합니다. 2015년부터는 고3을 가르치면 수능 30번 문제는 포기하고 다른 문제를 풀라고 권할 정도입니다. 저도 30번 문제는 자신이 없었습니다. 많은 반복과 틀린 문제들을 살펴보고 다시 풀고 하는 기나긴 시간을 보냅니다.

이렇게 공부해서 대학을 갑니다. 1학년 때 미분적분학(Calculus)을 공부합니다. 작은 단원마다 연습문제가 100문제 가까이 있습니다. 미분적분학 한 권에 포함된 연습문제는 거의 10,000문제 정도입니다. 이 연습문제가 또 과제가 됩니다. 뒤에 있는 답을 보면 홀수 번호만 답이 있고 게다가 증명 같은 문제는 풀이도 없습니다. 난감한 상황입니다.

그런데 옆의 친구를 보니 과제를 척척 하고 있습니다. 어떻게 했을까 하고 물어보니, 선배들이 작성한 풀이집을 가지고 있습니다. 손글씨로 풀어서 복사, 제본한 책입니다. 본인도 과제가 급하니 그 책을 구입해서 여유만만한 대학생활을 보냅니다.

아닌 경우도 있겠지만 이렇게 수학, 물리, 화학을 공부하는 것 같습니다.

 

미국고교생들이 배우는 PreCalculus와 Calculus는 책의 구성, 두께가 비슷하고 연습문제의 수도 비슷합니다. 풀이집이 존재할 수도 있겠지만 스스로 문제를 푸는 것 같습니다. 풀리지 않는 문제도 저희처럼 손글씨로 작성된 풀이집을 보기보단 스스로 해결하려고 노력하는 것 같습니다. 대학과정도 마찬가지이고...

이렇게 공부를 하면서 문제를 해결하고 실력을 쌓아갑니다.

 

연습문제는 3개 단계로 구성됩니다. 그 단원의 기본적인 문제, 심화 문제, 그리고 실생활에 적용되는 스토리형의 문제. 세 번째 단계 문제에는 그 단원에서 배운 이론을 토대로 좀더 차원이 높은 이론을 증명하는 것들도 있습니다.

이 세 번째 단계 문제를 해결하기 위해 앞의 두 단계의 문제가 존재하는 것 같습니다. 그리고 두 단계를 기본으로 많은 생각을 해야 세 번째 단계 문제도 해결할 수 있습니다.

 

 

이 책들의 구성을 보면서 제가 나름대로 결론을 내렸습니다.

“우리나라 학생들은 답을 잘 찾는다. 하지만 미국의 학생들은 문제를 잘 해결한다.”라고 생각을 했습니다. 살아가면서 답이 없는 문제가 정말 많습니다. 하지만 해결해야만 하는 문제입니다. 이럴 때 항상 답만 찾아서 쫓아가는 이에게 답이 없는 문제는 어떻게 해결해야 할지 갈피를 잡지 못하는 게 아닐까 하는 생각입니다.

앞에서 말씀드린 지도학습에서 개와 고양이를 구분하는 학습을 시킨 모델에 닭의 사진을 주고 무엇인지 판단하라고 하면 어떤 결과가 나올까요? 시도해보진 않았지만 특징을 분석해서 개나 고양이의 특징 중 더 가까운 특징을 가지는 동물로 분류하지 않을까 생각합니다.

비지도학습을 한 모델에는 다른 특징을 가지는 다른 항목으로 분류할 것 같습니다.

 

우리의 수학 학습법은 지도학습과 비슷하고, 위에서 언급했던 것처럼 스스로 학습하고 답을 찾고 문제를 해결하려 노력하는 학생들은 비지도학습이나 강화학습과 비슷하지 않을까 하고 생각해 봤습니다.

대학생 때 과외를 하러 학생집에 방문하였을 때, 정석 유제풀이집을 보면 압수를 했습니다. 풀이집을 보고 공부를 하면 실력이 늘지 않는다고 하면서 말입니다. 하지만 저도 대학을 다닐 때 선배들이 풀어준 풀이집을 참조해 과제를 했습니다. 이런 이유로 지금도 답을 찾는데는 익숙하지만 문제를 해결하는데는 익숙하지 않는 것 같습니다.

 

수학학습을 어떻게 해야 될까 하는 고민에서 이런 생각들을 해봤습니다.